高数公式速记¶
麦克劳林公式（\(x \to 0\)）¶
基本展开式¶
\[
\begin{aligned}
e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} \\
\sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\
\frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + \cdots + x^n \\
\frac{1}{1+x} &= 1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^n x^n \\
\ln(1+x) &= x - \frac{x^2}{2} + \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \\
(1+x)^a &= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + \cdots
\end{aligned}
\]
等价无穷小¶
\[
\begin{cases}
\sin x \sim x - \frac{x^3}{6} \\
\arcsin x \sim x - \frac{x^3}{6} \\
\tan x \sim x + \frac{x^3}{3} \\
\arctan x \sim x - \frac{x^3}{3} \\
1-\cos^a x \sim \frac{a^2}{2}x^2 \\
a^x-1 \sim x\ln a
\end{cases}
\]
极限与连续¶
重要极限¶
\[
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1, \quad \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x} = e
\]
间断点分类¶
- 第一类：\(f(x_0^+), f(x_0^-)\) 存在
- 可去间断点：\(f(x_0^+) = f(x_0^-)\)
- 跳跃间断点：\(f(x_0^+) \neq f(x_0^-)\)
- 第二类：至少一侧极限不存在
微分学¶
极值判定¶
设 \(f'(x_0)=0\)： 1. \(f''(x_0)>0\) ⇒ 极小值 2. \(f''(x_0)<0\) ⇒ 极大值 3. \(f''(x_0)=0\) ⇒ 需更高阶导数判定
泰勒公式¶
\[
f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)
$$
其中拉格朗日余项：
$$
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
\]
积分学¶
积分中值定理¶
\[
\int_a^b f(x)dx = (b-a)f(\xi), \quad \xi\in[a,b]
\]
重要积分公式¶
\[
\begin{aligned}
\int e^{ax}dx &= \frac{1}{a}e^{ax}+C \\
\int \sin(ax)dx &= -\frac{1}{a}\cos(ax)+C \\
\int \frac{dx}{x^2+a^2} &= \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C
\end{aligned}
\]
多元函数微分¶
偏导数定义¶
\[
\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}
\]
全微分¶
\[
dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy
\]
微分方程¶
一阶线性方程¶
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
通解：
$$
y = e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]
\]
二阶常系数齐次¶
特征方程 \(r^2+pr+q=0\) 的解： 1. 两实根 \(r_1\neq r_2\)：\(y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}\) 2. 重根 \(r\)：\(y=(C_1+C_2x)e^{rx}\) 3. 共轭复根 \(\alpha\pm\beta i\)：\(y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)\)
级数展开¶
常见幂级数¶
\[
\begin{aligned}
e^x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \\
\sin x &= \sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
\frac{1}{1-x} &= \sum_{n=0}^\infty x^n \quad (|x|<1)
\end{aligned}
\]
重要不等式¶
- 基本不等式：\(2ab \leq a^2+b^2\)
- 对数不等式：\(\frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x \quad (x>0)\)
- 三角不等式：\(\sin x < x < \tan x \quad (0<x<\pi/2)\)