行列式

1. 行列式的概念

行列式是一个数，不同行不同列元素乘积的代数和

一般项的符号不用按照规定进行去算，记住逆序数就行， - 偶逆序数是正 - 奇逆序数是负

例子： a₁₂a₂₁a₃₃a₄₄

符号是 1+0+0=1 奇数 所以是 - 符号

例子： a₁₃a₂₁a₃₂a₄₄

符号是 2+0+0=2 偶数 所以是 + 符号

2. 行列式性质

• 1. 经转置行列式值不变
• 1. 某行有公因数K，可把K提出（特别地，若某一行元素全为0，则D=0）
• 1. 两行互换行列式地值变号（特别地，两行相同，D=0；两行成比例，D=0）
• 1. 如果行列式某行每一项都是两个数的和，则可以把行列式拆成两个行列式之和
• 1. 把某行的K倍加到另外一行，行列式的值不变

3. 展开公式

|A| = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + ··· + a_1nA_1n (按行展开)

|A| = a₁₁A₁₁ + a₂₁A₂₁ + ··· + a_n1A_n1 (按列展开)

某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于0

a₁₁A₂₁ + a₁₂A₂₂ + a₁₃A₂₃ = 0

a₁₂A₁₃ + a₂₂A₂₃ + a₃₂A₃₃ = 0

余子式 代数余子式 $$ A_ij = (-1)^{i+j}*Mij $$

举个例子：以下的矩阵的\(a_{22}\)的余子式变化 n阶变成n-1阶 $$ \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \ a_{21} & a_{22} & 0 & \cdots & 0 \ a_{31} & a_{32} & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} = (-1)^{2+2} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \ a_{31} & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

A_ij与a_ij的数值大小无关

\[ \begin{bmatrix} A & 0 \\ . & B \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & . \\ 0 & B \\ \end{bmatrix} = |A|*|B| \]

$$ \begin{bmatrix} 0 & A \ B & . \ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} . & A \ B & 0 \ \end{bmatrix} = (-1)^{mn}|A|*|B|
$$ 注：mn是AB的阶数

\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ \end{bmatrix} = (x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) \]

\[ \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \]

4. 克拉默法则